Imaginez que vous êtes devant l'entrée d'un théâtre, tenant un tas de billets, face à deux types de tickets à des prix différents. Si vous savez seulement qu'il y a eu 35 billets achetés, vous ne pouvez pas déterminer avec certitude combien de billets de type A et combien de billets de type B ont été vendus — cette situation est dite « indéterminée » en mathématiques. Ce n'est qu'en prenant simultanément en compte les deux contraintes indépendantes du nombre total de billets et du montant total dépensé que la vérité émerge. Ce passage du flou aux multiples possibilités vers une réponse unique et précise est précisément le cœur de la modélisation par système d'équations linéaires à deux inconnues.
Le pont entre le langage naturel et l'algèbre
En début de 7e année, nous avons appris à décrire le monde à l'aide d'une seule lettre (une équation à une inconnue). Mais la réalité quotidienne est souvent multidimensionnelle. Lorsqu'il existe deux quantités liées entre elles mais fondamentalement différentes, introduire deux variables $x$ et $y$ rend la pensée exceptionnellement claire.
Première étape : définir les inconnues
Dans le cas du dilemme des billets, nous posons $x$ comme le nombre de billets de type A achetés, et $y$ comme le nombre de billets de type B. Ces deux variables forment le cadre de notre exploration.
Deuxième étape : identifier les deux relations d'égalité
1. Relation quantitative : $x + y = 35$ (la somme des deux types de billets égale le nombre total de personnes)
2. 经济关系：$24x + 18y = 750$ (甲票的总价与乙票总价的和等于总支出)
Troisième étape : établir le modèle conjoint
Nous associons ces deux équations à l'aide d'un grand crochet pour former le système : $\begin{cases} x+y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$. Cela signifie que nous devons trouver un couple ordonné $(x, y)$ qui permette à chacune des deux équations d'être simultanément « équilibrée », comme sur une balance.
🎯 Règle fondamentale de modélisation
La modélisation n'a pas pour but de calculer, mais de « traduire ». Identifiez les deux mots-clés importants dans l'énoncé, attribuez-les à des variables, puis traduisez les deux phrases verbales décrivant leurs relations en deux équations. Tant que les contraintes sont suffisantes et indépendantes, le système d'équations parviendra inévitablement à déterminer la vérité unique.
1. Rassemblement des termes du polynôme : un carré de $x^2$, trois bandes rectangulaires de $x$, et deux petits carrés unités de $1 \times 1$.
2. Commencez la composition géométrique.
3. Ils s'assemblent parfaitement pour former un grand rectangle continu ! Sa largeur est $(x+2)$, sa hauteur est $(x+1)$.
QUESTION 1
Dans une classe de 35 élèves, des billets coûtant respectivement 24 € et 18 € ont été achetés, pour un montant total de 750 €. Soit $x$ le nombre de billets de type A achetés, $y$ celui de type B. Lequel des systèmes suivants est correct ?
$\begin{cases} x+y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=750 \\ 24x+18y=35 \end{cases}$
$\begin{cases} x-y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=35 \\ 18x+24y=750 \end{cases}$ (erreur si $x$ représente les billets de type A)
Correct ! La première équation reflète la conservation du nombre de personnes, la seconde celle du montant total.
Astuce : Vérifiez ce que représentent $x$ et $y$. $x+y$ doit être égal au nombre total de personnes (35), et la somme des produits des prix unitaires par les quantités doit donner le montant total (750 €).
QUESTION 2
Un élevage possédait initialement 30 vaches adultes et 15 vaches jeunes, consommant environ 675 kg de fourrage par jour. Soit $x$ la quantité de fourrage consommée par jour par une vache adulte, $y$ celle par une vache jeune. Quelle équation est correcte ?
$30x + 15y = 675$
$15x + 30y = 675$
$30x - 15y = 675$
$x + y = 675 / 45$
Parfait ! C'est bien la relation d'égalité décrivant l'état initial.
Attention à la correspondance des variables : 30 vaches adultes correspondent à $30x$, 15 vaches jeunes à $15y$.
QUESTION 3
Suite à la question précédente, une semaine plus tard, 12 vaches adultes et 5 vaches jeunes ont été ajoutées. Le besoin journalier en fourrage est désormais de 940 kg. Quelle relation d'égalité s'applique maintenant ?
$(30+12)x + (15+5)y = 940$
$12x + 5y = 940$
$30x + 15y + 940 = 0$
$42x + 20y = 675 + 940$
Excellent ! Il faut additionner les nouvelles vaches au nombre initial avant d'établir l'équation.
Astuce : Après l'achat, le nombre total de vaches adultes devient $30+12$, celui de vaches jeunes $15+5$.
QUESTION 4
Résolvez le système $\begin{cases} x+2y=9 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}$, en utilisant la méthode d'addition pour éliminer $y$. Quelle équation en $x$ obtenez-vous ?
$4x = 8$
$4x = 10$
$-2x = 8$
$2x = 8$
Correct ! $(x + 3x) + (2y - 2y) = 9 + (-1)$, donc $4x = 8$. Cela illustre toute la puissance de la méthode de substitution.
Astuce : Additionnez les membres de gauche des deux équations, puis les membres de droite. Attention, $2y$ et $-2y$ s'annulent.
QUESTION 5
Quelle est la solution du système $\begin{cases} x+2y=9 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}$ ?
$\begin{cases} x=2 \\ y=3.5 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2.5 \\ y=3.25 \end{cases}$
Correct. De $4x=8$, on obtient $x=2$. En substituant dans la première équation, $2+2y=9$, donc $y=3.5$.
Étapes de résolution : 1. Additionnez les deux équations pour obtenir $4x=8 \Rightarrow x=2$ ; 2. Remplacez $x=2$ dans une des équations pour trouver $y$.
QUESTION 6
Pour qu'un système d'équations linéaires à deux inconnues ait une solution unique, combien d'équations indépendantes sont généralement nécessaires ?
2
1
Une infinité
0
Exact ! Dans le cas à deux dimensions, deux contraintes non parallèles sont nécessaires pour déterminer un point.
Pensez à une balance : une seule balance (équation) admet plusieurs états d'équilibre possibles. Deux balances sont nécessaires pour fixer définitivement les variables.
QUESTION 7
Dans un modèle géométrique, si un rectangle devient un carré lorsqu'on diminue sa longueur de 5 cm et qu'on augmente sa largeur de 2 cm, soit $x$ sa longueur initiale, $y$ sa largeur initiale. Quelle est la première relation ?
$x - 5 = y + 2$
$x + 5 = y - 2$
$x - y = 3$
$x - 5 = y$
Correct ! Une caractéristique essentielle d'un carré est que ses quatre côtés sont égaux. Donc la longueur après transformation doit être égale à la largeur après transformation.
Astuce : La propriété fondamentale d'un carré est que ses côtés sont tous de même longueur.
QUESTION 8
Si l'aire du rectangle initial est égale à celle du carré obtenu, quelle est la deuxième relation ?
$xy = (x-5)(y+2)$
$xy = x-5 + y+2$
$x+y = (x-5)^2$
$2(x+y) = 4(x-5)$
Correct. Le membre de gauche représente l'aire initiale du rectangle, celui de droite l'aire du nouveau carré.
La formule de l'aire est longueur multipliée par largeur. L'aire initiale est $xy$, celle du carré est $(x-5) \times (y+2)$.
QUESTION 9
Un système d'équations composé de deux équations, quelle est son interprétation physique habituelle ?
Rechercher une solution qui satisfait simultanément les deux conditions (intersection)
Rechercher une solution qui satisfait l'une ou l'autre condition (union)
Additionner les deux équations pour obtenir une nouvelle équation
Démontrer que ces deux équations sont fausses
Parfait ! C'est exactement la signification philosophique de la « conjonction » des équations.
Astuce : Les accolades représentent « et ». Cela signifie que la première condition est vraie ET la deuxième aussi.
QUESTION 10
Combien de solutions a l'équation $x + y = 5$ ?
Une infinité
1
2
Aucune solution
Correct. Par exemple : (1,4), (2,3), (0,5), (-1,6), etc. C'est pourquoi nous avons besoin d'une deuxième équation pour la déterminer.
注意：只要没有第二个约束，任何满足相加等于 5 的 $x$ 和 $y$ 都是解。
Défi : Conservation dans les transformations géométriques
Modélisation avancée et application logique
Une plaque métallique rectangulaire, si on réduit sa longueur de $5\text{ cm}$ et qu'on augmente sa largeur de $2\text{ cm}$, devient exactement un carré. Plus étonnant encore, l'aire de ce carré est exactement égale à celle du rectangle initial !
Q1
Soit $x\text{ cm}$ la longueur initiale du rectangle, $y\text{ cm}$ sa largeur initiale. Écrivez l'équation basée sur la condition que le rectangle devient un carré après transformation.
Analyse détaillée :
D'après la définition d'un carré, ses quatre côtés ont la même longueur. La longueur après transformation est $(x-5)$, la largeur $(y+2)$.
L'équation est donc :$x - 5 = y + 2$ (ou $x - y = 7$).
Q2
Écrivez la deuxième équation en fonction de l'égalité des aires, puis essayez de déterminer les dimensions initiales du rectangle.
Analyse détaillée :
1. Équation de l'aire :$xy = (x-5)(y+2)$.
2. Résolution conjointe :
D'après Q1, $x = y + 7$.
En substituant dans l'équation d'aire : $(y+7)y = (y+7-5)(y+2) \Rightarrow y^2 + 7y = (y+2)^2$.
Développement : $y^2 + 7y = y^2 + 4y + 4 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3} \text{ cm}$.
Ainsi, $x = \frac{4}{3} + 7 = \frac{25}{3} \text{ cm}$. Conclusion :Le rectangle initial a une longueur de $\frac{25}{3}\text{ cm}$ et une largeur de $\frac{4}{3}\text{ cm}$.
✨ Points clés
Deux inconnues,notées $x$ et $y$,deux conditions,établir deux équations.En ajoutant les équations,les contraintes deviennent uniques,La modélisation mathématique,est la plus claire logiquement!
💡 Les relations d'égalité sont l'âme de la modélisation
N'allez pas trop vite. Écrivez d'abord deux équations en français sur un brouillon, par exemple : « nombre initial = 35 » et « montant total initial = 750 ».
💡 Les variables doivent avoir un sens physique clair
Lorsque vous définissez $x$ et $y$, précisez toujours les unités, et clarifiez si elles représentent des quantités, des masses ou des longueurs.
💡 Les accolades ne sont pas décoratives
Les accolades signifient « doit être satisfait simultanément ». Si une solution ne satisfait qu'une seule équation, elle n'est pas solution du système.
💡 Préparation à la méthode de substitution
Observez le système : si les coefficients d'une même inconnue sont opposés dans les deux équations, alors « additionner » est la voie rapide vers la solution.